Macaulay Duration

Co je Macaulay Doba trvání?

Macaulayova doba trvání je vážený průměr období do splatnosti peněžních toků z dluhopisu. Váha každého peněžního toku je určena vydělením současné hodnoty peněžního toku cenou. Macaulayova doba trvání je často používána správci portfolií, kteří používají imunizační strategii.

Dobu trvání Macaulay lze vypočítat takto:

Macaulay Duration

=

t

=

1

n

(

t

×

C

(

1

+

y

(Text s významem pro EHP)

t

+

n

×

M

(

1

+

y

(Text s významem pro EHP)

n

(Text s významem pro EHP)

Aktuální cena dluhopisu

kde:

t

=

příslušné časové období

C

=

pravidelná platba kupónu

y

=

periodická výtěžnost

n

=

celkový počet období

M

=

hodnota splatnosti

Aktuální cena dluhopisu

=

současná hodnota peněžních toků

\begin{aligned} &\text{Macaulay Duration} = \frac{ \sum_{t = 1} ^ {n} \left ( \frac{ t \times C }{ (1 + y) ^ t } + \frac{ n \times M }{ (1 + y) ^ n } \right ) }{ \text{Aktuální cena dluhopisu} \\ &\textbf{kde:} \\ &t = \text{příslušné časové období} \\ &C = \text{platba periodického kuponu} \\ &y = \text{periodický výnos} \\ &n = \text{celkový počet období} \\ &M = \text{hodnota splatnosti} \\\ &\text{Aktuální cena dluhopisu} = \text{současná hodnota peněžních toků} \\ \end{aligned}

​Macaulay Duration=Current Bond Price∑t=1n​((1+y)tt×C​+(1+y)nn×M​)​kde:t=respective time periodC=periodic coupon paymenty=periodic yieldn=total number periodsM=maturity valueCurrent Bond Price=present value of cash flows​

Macaulay Duration

Pochopení doby trvání Macaulay

Metrika je pojmenována po svém tvůrci, Fredericku Macaulayovi. Macaulayovu dobu trvání lze považovat za bod ekonomické rovnováhy skupiny peněžních toků. Jiný způsob interpretace statistiky je, že se jedná o vážený průměrný počet let, po které musí investor udržovat pozici v dluhopisu, dokud se současná hodnota peněžních toků dluhopisu nevyrovná částce zaplacené za dluhopis.

Faktory ovlivňující trvání

Cena dluhopisu, jeho splatnost, kupón a výnos do splatnosti, to vše se promítá do výpočtu doby trvání. Za jinak stejných podmínek se doba trvání zvyšuje s rostoucí splatností. S rostoucí kupónovou cenou dluhopisu se snižuje doba jeho trvání. S rostoucí úrokovou sazbou se snižuje doba trvání dluhopisu a klesá citlivost dluhopisu na další zvyšování úrokových sazeb. Také propadající se fond, plánovaná záloha před splatností a opravné položky snižují dobu trvání dluhopisu.

Doporučujeme:  Pull to Par

Příklad Výpočet

Výpočet Macaulayovy doby trvání je přímočarý. Předpokládejme, že dluhopis s nominální hodnotou 1000 dolarů vyplácí kupón 6% a splatnost je za tři roky. Úrokové sazby jsou 6% ročně, s pololetním složením. Dluhopis vyplácí kupón dvakrát ročně a při závěrečné platbě splácí jistinu. Vzhledem k tomu se v příštích třech letech očekávají následující peněžní toky:

Období 1

:

$

30

Období 2

:

$

30

Období 3

:

$

30

Období 4

:

$

30

Období 5

:

$

30

Období 6

:

$

1

,

030

\begin{aligned} &\text{Období 1}: \$30 \\ &\text{Období 2}: \$30 \\ &\text{Období 3}: \$30 \\ &\text{Období 4}: \$30 \\ &\text{Období 5}: \$30 \\\ &\text{Období 6}: \$1,030 \\\\end{aligned}

​Období 1:$30Období 2:$30Období 3:$30Období 4:$30Období 5:$30Období 5:$30Období 6:$1,030​

Se známými obdobími a peněžními toky se musí pro každé období vypočítat diskontní faktor. Ten se vypočítá jako 1 ÷ (1 + r)n, kde r je úroková sazba a n je číslo daného období. Úroková sazba, r, složená pololetně je 6% ÷ 2 = 3%. Proto by diskontní faktory byly:

Období 1 Faktor slevy

:

1

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

1

=

0,9709

Období 2 Faktor slevy

:

1

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

2

=

0,9426

Období 3 Faktor slevy

:

1

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

3

=

0,9151

Období 4 Faktor slevy

:

1

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

4

=

0,8885

Období 5 Faktor slevy

:

1

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

5

=

0,8626

Období 6 Faktor slevy

:

1

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

6

=

0,8375

\begin{aligned} &\text{Faktor slevy období 1}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 1 = 0.9709 \\ &\text{Faktor slevy období 2}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 2 = 0.9426 \\ &\text{Faktor slevy období 3}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 3 = 0.9151 \\ &\text{Faktor slevy období 4}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 4 = 0.8885 \\ &\text{Faktor slevy období 5}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 5 = 0.8626 \\\ &\text{Faktor slevy období 6}: 1 \div ( 1 + .03 ) ^ 6 = 0.8375 \\ \end{aligned}

​Období 1 Faktor slevy:1÷(1+.03)1=0.9709Období 2 Faktor slevy:1÷(1+.03)2=0.9426Období 3 Faktor slevy:1÷(1+.03)3=0.9151Období 4 Faktor slevy:1÷(1+.03)4=0.8885Období 5 Faktor slevy:1÷(1+.03)5=0.8626Období 6 Faktor slevy:1÷(1+.03)6=0.8375​

Doporučujeme:  Index kupujícího dluhopisů

Dále vynásobte peněžní tok za období číslem období a jeho odpovídajícím diskontním faktorem, abyste zjistili současnou hodnotu peněžního toku:

Období 1

:

1

×

$

30

×

0,9709

=

$

29 bod 13

Období 2

:

2

×

$

30

×

0,9426

=

$

56,56

Období 3

:

3

×

$

30

×

0,9151

=

$

82,36

Období 4

:

4

×

$

30

×

0,8885

=

$

106,62

Období 5

:

5

×

$

30

×

0,8626

=

$

129,39

Období 6

:

6

×

$

1

,

030

×

0,8375

=

$

5

,

175,65

Období

=

1

6

=

$

5

,

579,71

=

čitatel

\begin{aligned} &\text{Období 1}: 1 \times \$30 \times 0.9709 = \$29.13 \\ &\text{Období 2}: 2 \times \$30 \times 0.9426 = \$56.56 \\ &\text{Období 3}: 3 \times \$30 \times 0.9151 = \$82.36 \\ &\text{Období 4}: 4 \times \$30 \times 0.8885 = \$106.62 \\\ &\text{Období 5}: 5 \times \$30 \times 0.8626 = \$129.39 \\\ &\text{Období 6}: 6 \times \$1,030 \times 0.8375 = \$5,175.65 \\\ &\sum_{\text{ Období } = 1} ^ {6} = \$5,579.71 = \text{čitatel} \\\ \end{aligned}

​Období 1:1×$30×0.9709=$29.13Období 2:2×$30×0.9426=$56.56Období 3:3×$30×0.9151=$82.36Období 4:4×$30×0.8885=$106.62Období 5:5×$30×0.8626=$129.39Období 6:6×$1,030×0.8375=$5,175.65 Období =1∑6​=$5,579.71=čitatel​

Aktuální cena dluhopisu

=

Peněžní toky v oblasti fotovoltaiky

=

1

6

Aktuální cena dluhopisu

=

30

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

1

+

30

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

2

Aktuální cena dluhopisu

=

+

+

1030

÷

(

1

+

Ne.

03

(Text s významem pro EHP)

6

Aktuální cena dluhopisu

=

$

1

,

000

Aktuální cena dluhopisu

=

jmenovatel

\begin{aligned} &\text{Aktuální cena dluhopisů} = \sum_{\text{ PV Cash Flows } = 1} ^ {6} \\ &\phantom{ \text{Aktuální cena dluhopisů} } = 30 \div ( 1 + .03 ) ^ 1 + 30 \div ( 1 + .03 ) ^ 2 \\ &\phantom{ \text{Aktuální cena dluhopisů} = } + \cdots + 1030 \div ( 1 + .03 ) ^ 6 \\ &\phantom{ \text{Aktuální cena dluhopisů} } = \$1,000 \\ &\phantom{ \text{Aktuální cena dluhopisů} } = \text{jmenovatel} \\ \end{aligned}

​Current Bond Price= PV Cash Flows =1∑6​Current Bond Price=30÷(1+.03)1+30÷(1+.03)2Current Bond Price=+⋯+1030÷(1+.03)6Current Bond Price=$1,000Current Bond Price=denominator​

(Všimněte si, že protože kupónová a úroková sazba jsou stejné, bude se dluhopis obchodovat za par.)

Macaulay Duration

=

$

5

,

579.71

÷

$

1

,

000

=

5.58

\begin{aligned} &\text{Macaulay Duration} = \$5,579.71 \div \$1,000 = 5.58 \\ \end{aligned}

​Macaulay Duration=$5,579.71÷$1,000=5.58​

Kupon-platící dluhopis bude mít vždy kratší dobu trvání než dobu do splatnosti. Ve výše uvedeném příkladu je doba trvání 5,58 půlroku kratší než doba do splatnosti šesti půllet. Jinými slovy, 5,58 ÷ 2 = 2,79 roku, což je méně než tři roky.